No me hago responsable de los daños producidos por la lectura de este blog
Aleix Saló, autor del ya famoso vídeo Españistán, aparece de nuevo anunciando Simiocracia. Crónica de una resaca empresarial. Como ya hizo con anterioridad publicita su libro con un vídeo, el cual enlazo a continuación. Verdaderamente no tiene desperdicio.
Por cierto, fantástica referencia a la Navaja de Hanlon.
El otro día comentaba de qué iban las Paradojas de Zenón. Habíamos dicho que en realidad no eran aporías puesto que hoy en día plantean problemas que se pueden resolver con nuestros conocimientos. Así pues, aquí van unas sencillas explicaciones de dónde está la trampa en cada una de ellas:
La paradoja de Aquiles y la tortuga
El fallo de Zenón fue no saber suficiente sobre las cosas infinitas, no le podemos reprochar nada puesto que este es un tema que aún hoy en día pone a muchos matemáticos en dificultades. Según él, una suma de infinitos términos (los pequeños avances que da la tortuga cada vez que Aquiles se acerca a ella) no podía resultar en un valor finito; por tanto, el veloz aqueo jamás superaría al esforzado animal. No obstante, el cálculo infinitesimal (los bien queridos límites) nos dice que una suma infinita puede dar un resultado finito si es convergente. Por supuesto, la carrera no se trata de un caso divergente.
La paradoja de la flecha
En esta ocasión no necesitamos del cálculo infinitesimal para rebatir a Zenón sino un poco de conocimiento de física clásica. No voy a ponerme a hablar de mecánica newtoniana o hamiltoniana (aunque he de reconocer que sería interesante), solo necesitamos examinar qué es lo que entiende Zenón por reposo. Él dice que en cada instante de tiempo la flecha no se mueve, por tanto, está en reposo y como se encuentra en reposo en cada instante de tiempo, la flecha nunca se mueve.
El error que se comete en esta situación es considerar que la flecha esté en reposo en cada instante de tiempo. Es cierto que la flecha no se mueve en un instante (digamos que es como una fotografía), pero eso no implica que esté en reposo. Para saber si algo se mueve o no, debemos ver su evolución en varios instantes de tiempo. Si algo está en diferentes posiciones en diferentes instantes, entonces se está moviendo. A partir de una fotografía no seremos capaces de ver si algo se mueve o no, pero con un vídeo (un conjunto de instantes, de fotogramas) sí podremos apreciar el movimiento.
La paradoja de la dicotomía
Por último, esta tercera paradoja se basa en la misma falacia que la primera: una suma infinita no puede dar un resultado finito. Por suerte para nosotros, esto es falso como expliqué anteriormente. Ahora sí voy a recurrir a los números para que quede lo más claro posible.
Supongamos que la distancia entre Zenón y el árbol es 1 (1 metro, 1 kilómetro, 1 yarda o lo que prefiráis). En primer lugar, la primera recorre la primera mitad, esto es 
. A continuación, recorre la primera mitad de la mitad restante (
), luego deberá recorrer 
, etc. Tendríamos algo así:
Zenón decía que nunca llegaríamos al árbol lo que matemáticamente es equivalente a decir que la anterior suma no tiene como resultado 1 (la distancia total entre el filósofo y el árbol). Sin embargo, podemos comprobar matemáticamente (sólo necesitamos calcular la suma infinita de una serie geométrica) que la siguiente igualdad es cierta:
En España tenemos el Día de los Santos Inocentes, pero buena parte del mundo Occidental celebra el día de las inocentadas el 1 de abril. Es común que nos encontremos hoy un Internet plagado de bromas; las hay ingeniosas y divertidas o, por el contrario, pesadas y de mal gusto.
Siempre me ha llamado la atención el esfuerzo que emplean ciertas empresas en un día como el de hoy y si hay una empresa que nunca pierde oportunidad para demostrar su ingenio, esta es Google. Por ejemplo, El año pasado presentaron Gmail Motion, una nueva forma revolucionaria -aunque un tanto incómoda- de leer tu correo. Anteriormente, habían anunciado una IA completa -CADIE- o incluso un plan de colonización de Marte -el proyecto Virgle-.
Este año toca recordar los viejos clásicos de la NES. Google ha anunciado una interfaz de Google Maps para esta clásica consola. La innovación del cartucho es que tiene un módem de 56 kbps que te permite conectarte a sus servidores. De momento, si queremos ver una demo podemos ir a Google Maps y pinchar en Empieza tu aventura. Hay ciertos detalles curiosos en las localizaciones del Area 51 o en sus oficinas.
Seguro que hay más de uno que desearía que Google desarrollara este producto. ¿Tal vez haya que empezar a desarrollar apps para NES?
No es difícil encontrar en la historia de la filosofía pensadores que defiendan que la inexistencia del movimiento. Desde los eléatas hasta pensadores contemporáneos son varios los que lo negaron. Por ejemplo, según Parménides, la realidad es algo inmóvil; el movimiento no es más que una ilusión creada por nuestros sentidos. En esa misma línea, otro eléata, Zenón, apoya la tesis anterior mediante la formulación de tres aporías conocidas como las Paradojas de Zenón.
Antes de nada, he de decir que estas paradojas son incorrectas, pero con el conocimiento de aquellos tiempos no era trivial resolverlas. Seguramente os suene alguna de ellas puesto que son populares entre profesores que quieren confundir estimular a sus estudiantes.
La paradoja de Aquiles y la tortuga
La situación es una carrera entre Aquiles y una tortuga (¿os suena el cuento de la tortuga y la liebre?). Como la tortuga es mucho más lenta, Aquiles decide darle una ventaja a su rival dejándola salir antes. Tras haber esperado un tiempo prudencial, el campeón griego se dispone a alcanzar la tortuga. Recorre velozmente la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño recorrido. El aqueo, seguro de sus fuerzas, decide continuar corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ya ha avanzado un poco más. Por mucho que repita este procedimiento, ¡Aquiles no logrará alcanzar nunca a la tortuga!
La paradoja de la flecha
Ahora nos movemos al tiro con arco. En esta paradoja, se lanza una flecha. Podemos garantizar que en cada instante de tiempo, la flecha se encuentra en una única posición específica del espacio. Por tanto, en cada momento, la flecha se encuentra en reposo en un lugar específico. Como la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible.
La paradoja de la dicotomía
En este caso, es el propio Zenón el protagonista. El filosófo se encuentra tumabado en la hierba y desea alcanzar con una piedra un árbol cercano a él. Por tanto, decide lanzar la piedra apuntando al tronco. La piedra para llegar al objetivo tiene que recorrer, en primer lugar, la mitad de la distancia que lo separa de él en lo cual tardará un tiempo finito. Una vez que haya recorrido la mitad de la trayectoria, deberá recorrer la otra mitad. Para ello, primero debe recorrer la primera mitad de dicha distancia. Pero cuando ya lo haya hecho, tendrá que recorrer la primera mitad de la mitad... De este modo, la piedra nunca llegará al árbol puesto que tiene que recorrer infinitas mitades de mitades... de distancias.
En algunos casos veréis claramente donde está la trampa, pero ¿y en otros? No voy a poner aquí las respuestas de momento para ver si os animáis en los comentarios a dar soluciones. ¡Suerte!
Actualización (02/04/2012): He publicado una entrada con las soluciones.
Hoy, 14 de marzo, cumple años la más famosa constante matemática. Amante de algunos, enemiga de otros, esta letra griega levanta pasiones. ¿Qué menos que dedicarle un día?
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